Péter Rózsa

Péter Rózsa (Politzer Rózsa, Budapest, 1905. február 17.– Budapest, 1977. február 17.) magyar matematikus, az MTA levelező tagja (1973).

Idézetek műveiből

A csokipapír

(Játék a végtelennel, II. fejezet: A teremtő forma, 11. szakasz: Ismét megfogjuk a végtelent - részlet)

Egy ismert matematikusunk még kisdiák korában a következő példával világította meg önmagának a végtelen sor összegének fogalmát.

Volt egy csokoládéfajta, amit úgy akartak népszerűvé tenni, hogy szelvényt is csomagoltak az burkoló ezüstpapírba, és aki $10$ ilyen szelvényt beszolgáltatott, az egy újabb tábla csokoládét kapott cserébe. Ha van egy ilyen tábla csokoládém, a teljes csomagolásban, mennyit ér ez valójában?

Természetesen nemcsak $1$ tábla csokoládét ér, mert a szelvény is benne van, és egy szelvényért adnak $\frac{1}{10}$ csokoládét (hiszen $10$-ért lehet egy csokoládét kapni). De ehhez a tized-csokoládéhoz egy tized szelvény is ját, s ha egy szelvényért $\frac{1}{10}$ csokoládét kaphatunk, akkor az $\frac{1}{10}$ szelvényért ennek a tizedrészét: $\frac{1}{100}$ csokoládét. Ehhez az $\frac{1}{100}$ csokoládéhoz tartozik egy század szelvényrészlet is, és ezért ismét tizedannyit adnak, $\frac{1}{100}$-nak a tizedrésze pedig $\frac{1}{1000}$ csokoládé. S í. t., a végtelenségig; látható, hogy ez sohasem szakad meg és így az én $1$ tábla csokoládém szelvényestül voltaképpen

$1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\dots$

csokoládét ér.

Másrészt meg fogom mutatni, hogy egész pontosan $1\frac{1}{9}$ csokoládé az értéke. Az ebben lévő $1$ egész természetesen magának a természetben adott csokoládénak az értéke, tehát csak azt kell megmutatnom, hogy az ehhez mellékelt szelvény $\frac{1}{9}$ csokoládét ér. Ehhez elég azt bizonyítanom, hogy $9$ szelvény ér 1 csokoládét, mert akkor biztos, hogy egy szelvény ennek a $9$-ed részét éri. Márpedig az egy pillanat alatt igazolható, hogy $9$ szelvény értéke egész pontosan $1$ csokoládé. Mert tegyük fel, hogy nekem van $9$ szelvényem; bemegyek a cukorkaüzletbe és ezt mondom: "Kérek egy tábla csokoládét; itt a helyszínen szeretném elfogyasztani és majd a végén fizetek." Elfogyasztom a csokoládét, kiveszem a hozzá csatolt szelvényt, és most már $10$ szelvényem van, csakugyan fizethetek, és ez tiszta üzlet: megettem egy csokoládét és egy fia szelvényem sem maradt. A $9$ szelvény pontos értéke tehát valóban $1$ csokoládé, $1$ szelvényé $\frac{1}{9}$ csokoládé, egy csokoládéé szelvényestül $1\frac{1}{9}$ csokoládé. Tehát az

$1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\dots$

végtelen sor összege egész pontosan $1\frac{1}{9}$, kézzel foghatóan, sőt megehetően.

Így fogalmazhatjuk meg ezt az eredményt: ha valami első, durva közelítésben $1$, valamivel jobb közelítésben $1+\frac{1}{10}$, még jobb közelítésben, de még mindig pontatlanul $1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}$, s.í.t. a végtelenségig, akkor ez a valami teljes pontossággal $1\frac{1}{9}$.